10 класс Материалы к зачету по теме "Функции. Уравнения. Неравенства" Неравенства. Ключевой момент в решении неравенства – преобразование его к виду, в котором левая часть представляет собой произведение каких-либо функций, а правая – равна нулю.
Таким образом, при применении правила расщепления неравенств необходимо сначала аккуратно выписать все случаи, когда это неравенство справедливо, т.е. выписать совокупность соответствующих систем неравенств, а затем решить каждую из этих систем и объединить в ответе полученные множества решений. Аналогичное правило может быть сформулировано и для строгих неравенств. Заметим, что при решении нестрогого неравенства в множество всех решений строгого неравенства включаются множество корней соответствующего уравнения. В процессе решения может оказаться, что в левой части (подразумевается, что правая часть равна нулю) число сомножителей бывает довольно велико, а значит, непосредственное применение правил расщепления приводит к трудоемкому решению нескольких систем. Метод интервалов применяют для неравенств вида f(x) > 0 (вместо знака > могут быть знаки ). На числовой оси, внутри области допустимых значений, выделяют интервалы, на которых функция f(x) имеет постоянный знак. Часто концевыми точками таких интервалов являются точки, в которых f(x) = 0 или не определена, т.е. задача о выделении интервалов знакопостоянства сводится в этом случае к решению соответствующих уравнений. Затем определяют знаки на этих интервалах, т.е. у каждого из получившихся интервалов ставят знак плюс или минус в зависимости от того какой знак имеет f(x) на данном интервале, изучают концевые точки и выписывают ответ. Сформулируем правило расстановки знаков при решении неравенств вида На координатную ось наносят числа x1, x2, ..., xn, которые разбивают её на интервалы знакопостоянства функции, стоящей в левой части неравенства. В промежутке справа от xn ставят знак “+”, затем, двигаясь справа налево, при переходе через точку xi меняют знак, т.е. левее xn ставят знак
”–”, затем “+” и т.д. При решении неравенств вида
правило расстановки знаков изменяется в том смысле, что, двигаясь, справа налево, при переходе через точку xi меняют знак, если ki – нечетное, и не меняют знак, если ki четное. После этого множество решений определяют, как и в предыдущем случае. При решении рациональных неравенств вида где P(x) и Q(x) – многочлены, методом интервалов на числовую ось наносятся точки, в которых числитель и знаменатель обращаются в ноль. Далее на полученных интервалах расставляются знаки, которые определяются или непосредственными вычислениями в удобных точках, взятых внутри этих интервалов, или в соответствии с правилом расстановки знаков и выписывается ответ. В частности, если P(x) и Q(x) не Пример. Решить неравенство: Решение: Данное неравенство равносильно таким неравенствам: Применяя метод интервалов, получим Точка (−2) не входит в область допустимых значений. Такие точки иногда называют "выколотыми" – на чертеже они не закрашиваются.
|
© Александр Коваль 2004-2016 |
|